Задача 1. (6 баллов) В комнате собрались 16 человек. Каждый из них является 2025 рыцарем (который говорит только верные утверждения) или лжецом (который говорит только ложные утверждения). Каждый заявил: «Ужас! Среди тех, кого я тут вижу, лжецов больше, чем рыцарей!» Сколько в комнате лжецов?

Поскольку каждый человек видит 15 других людей в комнате, то лжецов должно быть не меньше 8, чтобы утверждение было правдой. Если лжецов меньше 8, то рыцарей больше или равно 8, и для рыцарей утверждение будет ложным.

Предположим, что лжецов 8. Тогда каждый лжец говорит правду, что невозможно. Значит лжецов больше 8.

Предположим, что лжецов 9. Тогда каждый рыцарь говорит правду, что невозможно. Значит лжецов больше 9.

Рассуждая аналогично, можно заключить, что число лжецов должно быть 15, тогда каждый рыцарь говорит правду.

Если лжецов 10 и более, то каждый рыцарь говорит правду, что невозможно.

Тогда лжецов 15, а рыцарь 1. Рыцарь говорит правду, что лжецов больше, чем рыцарей. Лжецы говорят, что лжецов больше, чем рыцарей, то есть лгут.

Если в комнате 15 лжецов, то каждый из них видит 15 человек, среди которых 14 лжецов и 1 рыцарь. Значит, все лжецы говорят правду, а должны лгать, получаем противоречие.

Если в комнате 16 лжецов, то каждый из них видит 15 лжецов. Утверждение «Среди тех, кого я тут вижу, лжецов больше, чем рыцарей!» для каждого лжеца будет правдой. Но все лжецы должны лгать. Получаем противоречие.

Рассмотрим случай, когда лжецов 8. Тогда каждый из лжецов видит 7 лжецов и 8 рыцарей. Получается, что каждый из лжецов сказал правду, хотя должен был солгать. Противоречие.

Рассмотрим случай, когда лжецов 9. Тогда каждый из рыцарей видит 9 лжецов и 6 рыцарей. Получается, что каждый из рыцарей сказал правду, хотя должен был солгать. Противоречие.

Рассмотрим случай, когда лжецов 10. Каждый рыцарь видит 10 лжецов и 5 рыцарей. Рыцарь сказал правду. Противоречие.

Рассмотрим случай, когда лжецов 11. Каждый рыцарь видит 11 лжецов и 4 рыцаря. Рыцарь сказал правду. Противоречие.

Рассмотрим случай, когда лжецов 12. Каждый рыцарь видит 12 лжецов и 3 рыцаря. Рыцарь сказал правду. Противоречие.

Рассмотрим случай, когда лжецов 13. Каждый рыцарь видит 13 лжецов и 2 рыцаря. Рыцарь сказал правду. Противоречие.

Рассмотрим случай, когда лжецов 14. Каждый рыцарь видит 14 лжецов и 1 рыцаря. Рыцарь сказал правду. Противоречие.

Рассмотрим случай, когда лжецов 15. Единственный рыцарь видит 15 лжецов и 0 рыцарей. Рыцарь сказал правду. Противоречие.

Значит, решения нет.

Ответ: нет решения