Задача 9. Из точки А вне окружности проведена касательная АВ и секущая AD, как показано на картинке. Найдите длину отрезка АС, если CD=5, а длина отрезка касательной равна 6\sqrt{2}.

АВ - касательная, AD - секущая окружности.

AB = 6√2.

CD = 5.

Пусть AC = x.

Тогда AD = AC + CD = x + 5.

По теореме о касательной и секущей, AB² = AC × AD.

(6√2)² = x × (x + 5).

36 × 2 = x² + 5x.

72 = x² + 5x.

x² + 5x - 72 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² - 4ac = 5² - 4 × 1 × (-72) = 25 + 288 = 313.

x₁ = (-b + √D) / 2a = (-5 + √313) / 2.

x₂ = (-b - √D) / 2a = (-5 - √313) / 2. (не подходит, т.к. отрицательное значение).

x = (-5 + √313) / 2.

Ответ: (-5 + √313) / 2