Задание 1. Прямая пересекает стороны AB и AD и диагональ AC параллелограмма ABCD в точках E, F и G соответственно. Докажите, что AB/AE + AD/AF = AC/AG.

Обозначим через \(t\) и \(s\) доли сторон, которые составляют отрезки \(AE\) и \(AF\): \(AE=t\cdot AB\), \(AF=s\cdot AD\).

Выберем координаты так, чтобы \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), \(D=(0,1)\). Тогда \(C=(1,1)\), \(E=(t,0)\), \(F=(0,s)\).

Прямая через \(E\) и \(F\) пересекает диагональ \(AC\), заданную уравнением \(x=y\), в точке \(G=(r,r)\). Уравнение прямой через \((t,0)\) и \((0,s)\): \(x/t+y/s=1\). Подставляя координаты \(G\), получаем \(r/t+r/s=1\), откуда \(1/r=1/t+1/s\).

Так как \(AG/AC=r\), то \(AC/AG=1/r\). Аналогично \(AB/AE=1/t\), \(AD/AF=1/s\).

Ответ: \(\dfrac{AB}{AE}+\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AC}{AG}\).