Задание 2. В треугольнике ABC угол B равен 120°, сторона AB в два раза больше стороны BC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает AC в точке D. Найдите отношение AD : DC.

Пусть \(BC=1\), тогда \(AB=2\). Расположим \(B=(0,0)\), \(A=(2,0)\). Поскольку угол \(B=120^\circ\), можно взять \(C=(- frac12, \frac{\sqrt3}{2})\).

Серединный перпендикуляр к \(AB\) имеет уравнение \(x=1\). Запишем точку \(D\) на отрезке \(AC\) в виде \(D=A+t(C-A)\), где \(t=AD/AC\). Её координата \(x\) равна \(2- frac52t\). Из условия \(x=1\) получаем \(t= frac25\).

Следовательно, \(AD/AC=2/5\), а \(DC/AC=3/5\).

Ответ: \(AD:DC=2:3\).