Задание 6. В треугольнике ABC провели медиану BM. В треугольниках ABM и CBM провели биссектрисы ME и MF соответственно. Докажите, что EF || AC.

Поскольку \(BM\) — медиана, точка \(M\) — середина \(AC\), то есть \(AM=CM\).

По теореме о биссектрисе в треугольнике \(ABM\): \(AE/EB=AM/MB\). В треугольнике \(CBM\): \(CF/FB=CM/MB\). Из равенства \(AM=CM\) следует, что \(AE/EB=CF/FB\).

Пусть это общее отношение равно \(r\). Тогда \(BE/BA=1/(r+1)\) и \(BF/BC=1/(r+1)\). Следовательно, \(BE/BA=BF/BC\). По обратной теореме Фалеса в треугольнике \(BAC\) это означает, что \(EF\parallel AC\).

Что и требовалось доказать.