Задание 3. В треугольнике ABC провели внешнюю биссектрису BD (D лежит на прямой AC). Докажите, что AD : DC = AB : BC.

Опустим из точки \(B\) перпендикуляр на прямую \(AC\). Обозначим высоту через \(h\).

Площади треугольников \(ABD\) и \(CBD\), взятые по абсолютной величине, относятся как \(AD:DC\), поскольку их основания лежат на одной прямой, а высота к этой прямой общая.

С другой стороны, по формуле площади через две стороны и угол между ними это отношение равно \(\dfrac{AB\sin\angle ABD}{BC\sin\angle DBC}\). Так как \(BD\) — внешняя биссектриса угла \(B\), соответствующие углы с её сторонами являются равными или дополнительными; их синусы равны. Поэтому отношение площадей равно \(AB:BC\).

Значит, \(AD:DC=AB:BC\), как и требовалось доказать.