Задание 10. В треугольнике ABC на стороне AC отметили точку O так, что окружность с центром O коснулась сторон AB и BC треугольника. Найдите длину отрезка AO, если AB = 3, BC = 4, AC = 5.

Центр окружности, касающейся прямых \(AB\) и \(BC\), равноудалён от этих прямых и лежит на биссектрисе угла \(B\). Поскольку \(O\) находится на стороне \(AC\), это внутренняя биссектриса.

По теореме о биссектрисе \(AO/OC=AB/BC=3/4\). При \(AC=5\) получаем \(AO=\frac{3}{3+4}\cdot 5=\frac{15}{7}\).

Ответ: \(AO=\dfrac{15}{7}\).