Задание 7. В трапеции ABCD на боковых сторонах AB и CD выбрали точки E и F соответственно так, что CE || AF. Докажите, что DE || BF.

Пусть основания трапеции — \(AD\parallel BC\). Выберем координаты \(A=(0,0)\), \(D=(d,0)\), \(B=(x,h)\), \(C=(x+c,h)\). Точка \(E\) на \(AB\) имеет вид \(E=(tx,th)\), а точка \(F\) на \(CD\) — вид \(F=(x+c+s(d-x-c),h(1-s))\), где \(t,s\) — параметры деления сторон.

Условие \(CE\parallel AF\) означает равенство определителя векторов \(\overrightarrow{CE}\) и \(\overrightarrow{AF}\) нулю. После подстановки координат и сокращения получаем \(sd(1-t)=ct(1-s)\).

Для векторов \(\overrightarrow{DE}=(tx-d,th)\) и \(\overrightarrow{BF}=(c+s(d-x-c),-hs)\) условие параллельности также сводится к равенству \(sd(1-t)=ct(1-s)\). Оно уже выполнено, поэтому \(DE\parallel BF\).

Что и требовалось доказать.