Задание 5. В треугольнике ABC стороны AC = 7, BC = 5. Прямая, параллельная биссектрисе внешнего угла C, проходит через середину стороны AB и точку E на стороне AC. Найдите длину отрезка AE.

Обозначим через \(P\) середину \(AB\). Возьмём координаты \(A=(0,0)\), \(C=(7,0)\), \(B=(u,v)\). Тогда \(P=(u/2,v/2)\).

Единичные векторы из \(C\) в направлении \(A\) и \(B\) равны соответственно \((-1,0)\) и \(((u-7)/5,v/5)\), поскольку \(BC=5\). Направляющий вектор внешней биссектрисы можно взять равным их разности: \(((u-2)/5,v/5)\), то есть пропорциональным \((u-2,v)\).

Прямая через \(P\), параллельная этой биссектрисе, пересекает ось \(AC\) при параметре \(-1/2\): её ордината равна \(v/2+\lambda v=0\). Абсцисса точки пересечения равна \(u/2-(u-2)/2=1\). Значит, \(E\) находится на расстоянии 1 от \(A\).

Ответ: \(AE=1\).