Задание 10. В треугольнике ABC на стороне AC отметили точку O так, что окружность с центром O касалась сторон AB и BC треугольника. Найдите длину отрезка AO, если AB = 3, BC = 4, AC = 5.

Поскольку окружность касается сторон AB и BC, её центр равноудалён от этих сторон и лежит на биссектрисе угла B. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 прямоугольный, причём AC — гипотенуза.

Пусть касательная окружность касается AB и AC. Равные касательные, проведённые из одной точки, дают для точки A длину касательного отрезка \(s-BC\), где \(s=(3+4+5)/2=6\). Следовательно, \(AO=6-4=2\). Эквивалентно, точка O — точка касания вписанной окружности с гипотенузой.

Ответ: \(AO=2\).