Задание 3. В прямоугольнике ABCD серединный перпендикуляр к диагонали AC пересёк сторону BC в точке M. Оказалось, что CM = 2BM. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

Пусть AB = w, BC = h, а P — середина AC. Так как M лежит на серединном перпендикуляре к AC, MA = MC. Из координат или теоремы Пифагора для положения M на BC следует, что при CM = 2BM выполняется h² = 3w².

Диагонали прямоугольника имеют направления, образующие с AB углы α и −α, где tan α = h/w. Из h² = 3w² получаем tan α = √3, поэтому α = 60°. Острый угол между диагоналями равен 180° − 2α = 60°.

Ответ: 60°.