Задание 9. В прямоугольнике ABCD на стороне BC отметили точку M так, что MA — биссектриса угла BMD. Известно, что BC : AB = 2 : 1. Найдите угол BMA.

Пусть AB = a, BC = 2a. Возьмём координаты A(0, 0), B(a, 0), C(a, 2a), D(0, 2a), M(a, t). Тогда луч MB направлен вертикально вниз. Условие, что MA — биссектриса ∠BMD, означает равенство углов между MA и MB, а также MA и MD.

Положим θ = ∠BMA. В прямоугольном треугольнике ABM имеем tan θ = AB/BM = a/t. Направление MD образует с горизонталью угол, тангенс которого по модулю равен (2a−t)/a. Равенство углов при биссектрисе даёт 2a−t = a, следовательно, t = a. Поэтому tan θ = 1.

Ответ: ∠BMA = 45°.