Задание 4. В прямоугольнике ABCD отметили середину стороны AB — точку M. На отрезке DM нашлась такая точка E, что BE = AD. Найдите угол CED.

Обозначим AB = w, AD = h и зададим координаты: A(0, 0), B(w, 0), D(0, h), C(w, h). Пусть E делит DM в отношении DE:EM = t:(1−t), где 0 < t < 1. Тогда E имеет координаты (tw/2, h(1−t)).

Из BE = h следует: w²(1−t/2)² + h²(1−t)² = h², то есть h²t(2−t) = w²(1−t/2)².

Скалярное произведение векторов EC = (w(1−t/2), ht) и ED = (−tw/2, ht) равно −tw²(1−t/2)/2 + h²t². Подставляя полученное равенство, получаем 0. Значит, EC ⟂ ED.

Ответ: ∠CED = 90°.