4.\sqrt[3]{\sqrt{52}-5} + \sqrt[3]{5 + \sqrt{52}}

4. Выражение имеет вид $$a+b$$, где $$a = \sqrt[3]{\sqrt{52}-5}$$ и $$b = \sqrt[3]{5 + \sqrt{52}}$$. Необходимо упростить это выражение.

Для этого возведем в куб сумму a+b:

$$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$$

В нашем случае,

$$a^3 = \sqrt{52} - 5$$ $$b^3 = 5 + \sqrt{52}$$ $$a^3 + b^3 = \sqrt{52} - 5 + 5 + \sqrt{52} = 2\sqrt{52}$$

Теперь найдем произведение ab:

$$ab = \sqrt[3]{\sqrt{52}-5} \cdot \sqrt[3]{5 + \sqrt{52}} = \sqrt[3]{(\sqrt{52}-5)(5 + \sqrt{52})} = \sqrt[3]{52 - 25} = \sqrt[3]{27} = 3$$

Таким образом,

$$(a+b)^3 = 2\sqrt{52} + 3 \cdot 3(a+b) = 2\sqrt{52} + 9(a+b)$$

Пусть $$x = a+b$$, тогда получаем уравнение

$$x^3 = 2\sqrt{52} + 9x$$ $$x^3 - 9x - 2\sqrt{52} = 0$$ $$x^3 - 9x - 2\sqrt{4 \cdot 13} = 0$$ $$x^3 - 9x - 4\sqrt{13} = 0$$

Предположим, что решением является $$k\sqrt{13}$$

$$(k\sqrt{13})^3 - 9(k\sqrt{13}) - 4\sqrt{13} = 0$$ $$13k^3\sqrt{13} - 9k\sqrt{13} - 4\sqrt{13} = 0$$ $$13k^3 - 9k - 4 = 0$$

Методом подбора определяем, что k=1 является корнем данного уравнения:

$$13 - 9 - 4 = 0$$ $$0=0$$

То есть, $$x = \sqrt{13}$$

Следовательно, $$a+b = \sqrt{13}$$

Ответ: $$\sqrt{13}$$