11. 5 2/√x+3 – sin² 2x.

Для нахождения первообразной функции $$f(x) = \frac{2}{\sqrt{x+3}} - \sin^2(2x)$$ нужно найти функцию $$F(x)$$, производная которой равна заданной.

1. Найдем первообразную для $$\frac{2}{\sqrt{x+3}}$$:

$$\int \frac{2}{\sqrt{x+3}} dx = 2 \int (x+3)^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{(x+3)^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + C = 2 \cdot \frac{(x+3)^{1/2}}{1/2} + C = 4\sqrt{x+3} + C$$

2. Теперь найдем первообразную для $$-\sin^2(2x)$$:

Воспользуемся формулой $$\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$$

$$-\sin^2(2x) = -\frac{1 - \cos(4x)}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(4x)$$

$$\int \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(4x)\right) dx = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(4x)}{4} + C = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x) + C$$

3. Объединим результаты:

$$F(x) = 4\sqrt{x+3} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x) + C$$

где C - произвольная постоянная.

Ответ: $$F(x) = 4\sqrt{x+3} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x) + C$$