10. 5 4e⁻²ˣ + (x – 1)³.

Для нахождения первообразной функции $$f(x) = 4e^{-2x} + (x - 1)^3$$ нужно найти функцию $$F(x)$$, производная которой равна заданной.

1. Найдем первообразную для $$4e^{-2x}$$:

$$\int 4e^{-2x} dx = 4 \int e^{-2x} dx = 4 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} + C = -2e^{-2x} + C$$

2. Теперь найдем первообразную для $$(x - 1)^3$$:

$$\int (x - 1)^3 dx = \frac{(x-1)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{(x-1)^4}{4} + C$$

3. Объединим результаты:

$$F(x) = -2e^{-2x} + \frac{(x-1)^4}{4} + C$$

где C - произвольная постоянная.

Ответ: $$F(x) = -2e^{-2x} + \frac{(x-1)^4}{4} + C$$