8. 4 √x + 2x²√x.

Для нахождения первообразной функции $$f(x) = \sqrt{x} + 2x^2\sqrt{x}$$ нужно найти функцию $$F(x)$$, производная которой равна заданной.

1. Преобразуем функцию, используя степени:

$$f(x) = x^{1/2} + 2x^{2}x^{1/2} = x^{1/2} + 2x^{5/2}$$

2. Найдем первообразную для $$x^{1/2}$$:

Используем правило интегрирования $$x^n$$, где $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$.

$$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

3. Теперь найдем первообразную для $$2x^{5/2}$$:

$$\int 2x^{5/2} dx = 2 \int x^{5/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{(5/2)+1}}{(5/2)+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{7/2}}{7/2} + C = \frac{4}{7}x^{7/2} + C$$

4. Объединим результаты:

$$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{4}{7}x^{7/2} + C$$

$$F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{4}{7}x^3\sqrt{x} + C$$

где C - произвольная постоянная.

Ответ: $$F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{4}{7}x^3\sqrt{x} + C$$