12. 6 2 cos² x/₂.

Для нахождения первообразной функции $$f(x) = 2\cos^2(\frac{x}{2})$$ нужно найти функцию $$F(x)$$, производная которой равна заданной.

Воспользуемся формулой $$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

$$f(x) = 2 \cos^2(\frac{x}{2}) = 2 \cdot \frac{1 + \cos(x)}{2} = 1 + \cos(x)$$

1. Найдем первообразную для $$1 + \cos(x)$$:

$$\int (1 + \cos(x)) dx = \int 1 dx + \int \cos(x) dx = x + \sin(x) + C$$

где C - произвольная постоянная.

Ответ: $$F(x) = x + \sin(x) + C$$