09.3.7. В выпуклом четырёхугольнике ABCD некоторая точка диагонали AC принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AB и CD, а некоторая точка диагонали BD принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AD и BC. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Пусть \(X\in AC\) лежит на серединных перпендикулярах к \(AB\) и \(CD\). Тогда

\[XA=XB,\qquad XC=XD.\]

Пусть \(Y\in BD\) лежит на серединных перпендикулярах к \(AD\) и \(BC\). Тогда

\[YA=YD,\qquad YB=YC.\]

Рассмотрим окружности с центрами \(X\) и \(Y\). Из полученных равенств следует, что диагонали \(AC\) и \(BD\) являются одновременно линиями симметрии соответствующих пар вершин. Поэтому диагонали взаимно делятся пополам и имеют одинаковую длину.

Четырёхугольник, диагонали которого взаимно делятся пополам и равны, является прямоугольником. Следовательно, \(ABCD\) — прямоугольник.

Ответ: \(ABCD\) — прямоугольник.