10.4.6. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы B и D равны, CD = 4BC, а биссектриса угла A проходит через середину стороны CD. Чему может быть равно отношение AD : AB?

Пусть \(M\) — середина \(CD\), и \(AM\) — биссектриса угла \(A\). Тогда по теореме о биссектрисе в треугольнике \(ABD\) и с учётом равенства углов \(B=Dackground-color:transparent;'>\) получаем пропорцию

\[\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{2BC}.\]

Так как \(CD=4BC\), имеем

\[\frac{AD}{AB}=\frac{4BC}{2BC}=2.\]

Другой вариант расположения биссектрисы даёт обратную пропорцию, поэтому возможны два значения:

\[\frac{AD}{AB}=2\quad\text{или}\quad \frac{AD}{AB}=\frac12.\]

Ответ: \(2\) или \(\frac12\).