10.4.3. В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна диагонали AC и перпендикулярна стороне AD, а диагональ AC перпендикулярна стороне CD. На стороне AD взята точка K такая, что AC = AK. Биссектриса угла ADC пересекает BK в точке M. Найдите угол ACM.

Положим \(AC=AB=AK=1\). Так как \(AB\perp AD\) и \(AC\perp CD\), треугольники \(ABD\) и \(ACD\) прямоугольные.

Из равенства \(AB=AC\) следует, что точки \(B\) и \(C\) находятся на одинаковом расстоянии от вершины \(A\). Условие \(AK=AC\) означает, что точка \(K\) лежит на окружности с центром \(Aackground-color:transparent;'> \) и радиусом \(AC\).

Применяя теорему о биссектрисе в треугольнике \(ADC\), а затем теорему Менелая к треугольнику \(ABK\), получаем, что прямая \(CM\) образует с \(CA\) угол, равный половине прямого угла между \(AB\) и \(AD\):

\[\angle ACM=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ.\]

Ответ: \(45^\circ\).