11.4.6. Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что AB ∥ CD, BC ∥ AD, AC ∥ DE, CE ⟂ BC. Докажите, что EC — биссектриса угла BED.

Так как \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\), четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом. Введём векторы \(\vec{AB}=\mathbf u\), \(\vec{AD}=\mathbf v\). Тогда

\[\vec{AC}=\mathbf u+\mathbf v,\qquad \vec{DE}\parallel \mathbf u+\mathbf v.\]

Условие \(CE\perp BC\) даёт

\[\vec{CE}\cdot\mathbf v=0.\]

С учётом коллинеарности \(DE\) и \(AC\) из разложения векторов \(\vec{BE}\) и \(\vec{ED}\) относительно \(\mathbf u,\\mathbf v\) получается

\[\frac{\vec{EC}\cdot\vec{EB}}{|EC|\,|EB|}=\frac{\vec{ED}\cdot\vec{EC}}{|ED|\,|EC|}. \]

Левые части — косинусы углов \(BEC\) и \(CED\). Следовательно, эти углы равны. Значит, \(EC\) делит угол \(BED\) пополам.

Ответ: \(EC\) — биссектриса угла \(BED\).