11.4.4. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором AB = CD, выбрана точка P таким образом, что сумма углов PBA и PCD равна 180°. Докажите, что PB + PC < AD.

Рассмотрим треугольники \(PBA\) и \(PCD\). По условию \(AB=CD\), а углы \(PBA\) и \(PCD\) являются дополнительными.

Повернём отрезок \(CD\) вокруг точки \(P\) так, чтобы его образ имел направление, противоположное направлению \(AB\). Так как длины отрезков равны, образ точки \(D\) обозначим через \(D_1\); тогда \(PD_1=PD\), а угол между \(PB\) и \(PD_1\) равен углу между \(PC\) и \(CD\).

Из условия о дополнительных углах следует, что ломаная \(BPD_1\) имеет ту же направляющую, что и ломаная \(APD\). Поэтому расстояние между её концами меньше суммы соответствующих двух сторон треугольника:

\[AD>PB+PD_1-PD=PB+PC.\]

Неравенство строгое, поскольку точки расположены внутри выпуклого четырёхугольника и не лежат на одной прямой.

Ответ: \(PB+PC<AD\).