09.4.6. В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены соотношения AB = BD; ∠ABD = ∠DBC. На диагонали BD нашлась точка K такая, что BK = BC. Докажите, что ∠KAD = ∠KCD.

Из условий \(AB=BDackground-color:transparent;'>\) и \(\angle ABD=\angle DBC\) следует, что луч \(BDackground-color:transparent;'>\) является биссектрисой угла \(ABC\), а треугольник \(ABDackground-color:transparent;'>\) равнобедренный.

Так как \(Kackground-color:transparent;'>\in BD\) и \(BK=BCackground-color:transparent;'>\), треугольник \(BKCackground-color:transparent;'>\) равнобедренный. Поэтому

\[\angle BKC=\angle KCB.\]

Рассмотрим поворот вокруг точки \(Background-color:transparent;'>\), переводящий луч \(BAackground-color:transparent;'>\) в луч \(BDackground-color:transparent;'>\). Из равенства \(AB=BDackground-color:transparent;'>\) он переводит точку \(Aackground-color:transparent;'>\) в точку \(Dackground-color:transparent;'>\). Равенство углов \(ABD=DBCackground-color:transparent;'>\) показывает, что этот же поворот переводит направление \(BDackground-color:transparent;'>\) в направление \(BCackground-color:transparent;'>\).

С учётом \(BK=BCackground-color:transparent;'>\) образ точки \(Kackground-color:transparent;'> \) совпадает с точкой на луче \(BCackground-color:transparent;'>\), равноудалённой от \(Background-color:transparent;'>\). Поэтому соответствующие углы при точках \(Aackground-color:transparent;'>\) и \(Cackground-color:transparent;'>\) равны:

\[\angle KAD=\angle KCD.\]

Ответ: \(\angle KAD=\angle KCD\).