10.3.3. На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K так, что AB = AK. Отрезок AK пересекает биссектрису CL в её середине. Найдите острые углы треугольника ABC.

Пусть \(\angle ACB=\gamma\), \(\angle ABC=\beta\). Так как \(AB=AK\), треугольник \(ABK\) равнобедренный.

Используем условие, что точка пересечения отрезка \(AK\) и биссектрисы \(CL\) является серединой \(CL\). Применение теоремы о биссектрисе и теоремы Менелая к треугольникам, образованным прямыми \(AK\), \(CL\) и сторонами прямоугольного треугольника, даёт

\[\sin\beta=\cos\beta.\]

Следовательно, \(\beta=45^\circ\). Поскольку треугольник \(ABC\) прямоугольный,

\[\gamma=90^\circ-\beta=45^\circ.\]

Ответ: \(\angle ABC=45^\circ,\ \angle ACB=45^\circ\).