10.3.8. Биссектрисы углов A и C трапеции ABCD пересекаются в точке P, а биссектрисы углов B и D — в точке Q, отличной от P. Докажите, что если отрезок PQ параллелен основанию AD, то трапеция равнобокая.

Пусть \(AD\parallel BC\), а высота трапеции равна \(h\). Точки пересечения биссектрис соседних углов находятся на расстояниях от основания \(AD\), равных

\[\frac{h\sin\frac A2}{\sin\frac A2+\sin\frac D2}\quad\text{и}\quad \frac{h\sin\frac B2}{\sin\frac B2+\sin\frac C2}.\]

Условие \(PQ\parallel AD\) означает, что эти расстояния равны. После сокращения получаем

\[\sin\frac A2\sin\frac C2=\sin\frac B2\sin\frac D2.\]

В трапеции \(A+D=180^\circ\) и \(B+C=180^\circackground-color:transparent;'>\circ\), поэтому

\[\sin\frac D2=\cos\frac A2,\qquad \sin\frac C2=\cos\frac B2.\]

Следовательно, \(\tan\frac A2=\tan\frac B2\), откуда \(A=B\). Значит, боковые стороны трапеции равны: \(AB=CD\).

Ответ: трапеция равнобокая.