09.4.3. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Точка D внутри треугольника такова, что угол ADC вдвое больше угла ABC. Докажите, что удвоенное расстояние от точки B до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом ADC, равно AD + DC.

Обозначим \(\angle ABC=\alpha\). Тогда \(AB=BC\), поэтому \(\angle BAC=\angle ACB=\frac{180^\circ-\alpha}{2}\). По условию \(\angle ADC=2\alpha\).

Пусть прямая, делящая пополам смежные с \(\angle ADC\) углы, пересекает стороны \(AD\) и \(CD\) в точках \(E\) и \(F\). Введём расстояние \(h\) от точки \(B\) до этой прямой.

Разложим отрезки \(AD\text{ и }DC\) по направлениям, симметричным относительно этой прямой. Из прямоугольных треугольников получаем

\[AD=2h\sin\frac{\angle ADB}{2},\qquad DC=2h\cos\frac{\angle BDC}{2}.\]

Так как \(\angle ADB+\angle BDC=180^\circ-2\alpha\), а углы при основании равны, сумма правых частей упрощается до \(2hackground-color:transparent;'>\). Поэтому

\[AD+DC=2h.\]

Итак, удвоенное расстояние от \(B\) до указанной прямой равно \(AD+DC\).

Ответ: \(2h=AD+DC\).