1. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием BC и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

Пошаговое решение:

1. Угол BCA = 30°. Так как трапеция равнобедренная, AD || BC, то угол CAD = 30° (как накрест лежащие).
2. Угол ACD = 105°.
3. Угол BCD = угол BCA + угол ACD = 30° + 105° = 135°.
4. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, значит, угол B = угол BCD = 135°.
5. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°.
6. Угол ABC + угол BCD = 180° (неверно, углы при боковой стороне A и B, C и D).
7. Угол C = 135°, значит, угол B = 135° (углы при основании BC).
8. Угол D = 180° - угол C = 180° - 135° = 45° (углы при боковой стороне CD).
9. Угол A = угол D = 45° (углы при основании AD).
10. Углы трапеции: 45°, 135°, 135°, 45°.
11. Меньший угол равен 45°.

Ответ: 45°