№1. Решить уравнение 3. \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} + \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2}

1. Пусть t = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}. Тогда \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{t}. Уравнение примет вид: t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}. 2. Приведем к общему знаменателю и умножим на 2t: 2t^2 + 2 = 5t, 2t^2 - 5t + 2 = 0. 3. Решим квадратное уравнение: D = 25 - 16 = 9, t1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}, t2 = \frac{5 + 3}{4} = 2. 4. Вернемся к x: * Если \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = \frac{1}{2}, то \frac{x}{x+1} = \frac{1}{4}, 4x = x+1, 3x = 1, x = \frac{1}{3}. * Если \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = 2, то \frac{x}{x+1} = 4, x = 4x + 4, -3x = 4, x = -\frac{4}{3} (не подходит, так как x>=0) 5. Проверим найденный корень: при x = \frac{1}{3} \frac{\sqrt{\frac{1}{3}}}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}} + \frac{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{4}{3}}} + \frac{\sqrt{\frac{4}{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} + \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}, верно. 6. Ответ: x = \frac{1}{3}