1. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, BC = 3, cos A = √35 / 6. Найдите АН.

Дано:

• Треугольник ABC, угол C = 90°
• CH — высота
• BC = 3
• cos A = \(\frac{\sqrt{35}}{6}\)

Найти: AH

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC: \(\cos A = \frac{AC}{AB}\).
2. В прямоугольном треугольнике BHC: \(\cos B = \frac{BC}{AB}\).
3. Также \(\cos B = \sin A\).
4. Найдем \(\sin A\): \(\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{35}}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{35}{36}} = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}\).
5. Следовательно, \(\cos B = \frac{1}{6}\).
6. Из \(\cos B = \frac{BC}{AB}\) находим AB: \(\frac{1}{6} = \frac{3}{AB}\) => \(AB = 18\).
7. Из \(\cos A = \frac{AC}{AB}\) находим AC: \(\frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{AC}{18}\) => \(AC = \frac{18\sqrt{35}}{6} = 3\sqrt{35}\).
8. В прямоугольном треугольнике ABC: \(AC^2 = AH \cdot AB\) (катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком).
9. \((3\sqrt{35})^2 = AH \cdot 18\)
10. \(9 \cdot 35 = AH \cdot 18\)
11. \(315 = 18 AH\)
12. \(AH = \frac{315}{18} = \frac{35}{2} = 17.5\)

Ответ: 17.5