Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 6. Найдите корень уравнения x / \(\sqrt{x-1}\) = 1 / 2. Если корней более одного, то в ответе запишите наименьший корень.Фото задания

Ответ:

Дано уравнение:

  • \[ \frac{x}{\sqrt{x-1}} = \frac{1}{2} \]

Найти: Наименьший корень уравнения.

Решение:

  1. ОДЗ (Область допустимых значений):
    • Выражение под корнем должно быть больше нуля: \(x - 1 > 0\) => \(x > 1\).
    • Знаменатель не должен быть равен нулю: \(\sqrt{x-1} \neq 0\), что также выполняется при \(x > 1\).
    • Итак, \(x > 1\).
  2. Решение уравнения:
  3. Перемножим крест-накрест:
  4. \(2x = \sqrt{x-1}\)
  5. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
  6. \((2x)^2 = (\sqrt{x-1})^2\)
  7. \(4x^2 = x - 1\)
  8. Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
  9. \(4x^2 - x + 1 = 0\)
  10. Найдем дискриминант (D) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \(D = b^2 - 4ac\).
  11. В нашем случае \(a=4, b=-1, c=1\).
  12. \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15\).
  13. Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), квадратное уравнение не имеет действительных корней.
  14. Следовательно, исходное уравнение также не имеет действительных корней.

Ответ: Нет корней