9. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью Vo = 20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением а = 5 м/с². За t - секунд после начала торможения он прошёл путь S = vot - at² / 2 (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Question

Вопрос:

Фото задания

9. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью Vo = 20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением а = 5 м/с². За t - секунд после начала торможения он прошёл путь S = vot - at² / 2 (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Accepted Answer

Дано:

Начальная скорость \(v_0 = 20 \text{ м/с}\)
Ускорение \(a = 5 \text{ м/с}^2\)
Путь \(S = 30 \text{ м}\)
Формула пути: \(S = v_0t - \frac{at^2}{2}\)

Найти: Время \(t\)

Решение:

Подставим известные значения в формулу пути:
\[ 30 = 20t - \frac{5t^2}{2} \]
Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения \(At^2 + Bt + C = 0\). Умножим все на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 60 = 40t - 5t^2 \]
Перенесем все члены в одну сторону:
\[ 5t^2 - 40t + 60 = 0 \]
Разделим все уравнение на 5 для упрощения:
\[ t^2 - 8t + 12 = 0 \]
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \]
Найдем корни уравнения:
\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
Оба корня (2 секунды и 6 секунд) являются допустимыми, так как время торможения может быть разным для прохождения одного и того же расстояния (например, автомобиль мог проехать 30м, начать тормозить, а потом продолжить движение с меньшей скоростью). Однако, в контексте задачи, обычно ищут время, когда автомобиль остановился или когда он только начинает замедляться. В данном случае, оба значения являются математически верными. Если задача подразумевает единственное решение, то часто берут меньшее время, либо подразумевается, что торможение произошло до полной остановки.
Проверим, происходит ли остановка в эти моменты времени. Скорость \(v = v_0 - at = 20 - 5t\).
При \(t=2\), \(v = 20 - 5 \times 2 = 20 - 10 = 10 \text{ м/с}\) (автомобиль еще движется).
При \(t=6\), \(v = 20 - 5 \times 6 = 20 - 30 = -10 \text{ м/с}\) (автомобиль уже остановился и начал двигаться в обратном направлении, если бы это было возможно).
Так как автомобиль проехал 30 метров, и ускорение торможения является постоянным, оба времени могут быть корректными. Однако, обычно в таких задачах подразумевается первое время, когда это расстояние было достигнуто.

Ответ: 2