12. Найдите наибольшее значение функции y = √5-4x-x².

Анализ функции:

Функция имеет вид \(y = \sqrt{5 - 4x - x^2}\). Чтобы найти наибольшее значение функции, нужно найти наибольшее значение выражения под корнем, так как корень — возрастающая функция.

Рассмотрим выражение под корнем: \(5 - 4x - x^2\).

Преобразование выражения:

1. Выделим полный квадрат. Изменим знак и вынесем минус:
2. \[ -(x^2 + 4x - 5) \]
3. Дополним до полного квадрата выражение в скобках: \(x^2 + 4x + 4 - 4 - 5\)
4. \[ -( (x+2)^2 - 9 ) \]
5. Раскроем скобки:
6. \[ 9 - (x+2)^2 \]
7. Итак, наша функция имеет вид: \(y = \sqrt{9 - (x+2)^2}\).

Поиск наибольшего значения:

1. Выражение \((x+2)^2\) всегда неотрицательно: \((x+2)^2 \ge 0\).
2. Наибольшее значение выражения \(9 - (x+2)^2\) будет достигнуто, когда \((x+2)^2\) будет наименьшим, то есть равным 0.
3. \((x+2)^2 = 0\) => \(x+2 = 0\) => \(x = -2\).
4. При \(x = -2\), значение выражения под корнем будет:
5. \(9 - (-2+2)^2 = 9 - 0^2 = 9\).
6. Наибольшее значение функции y равно корню из этого значения:
7. \(y_{max} = \sqrt{9} = 3\).

Проверка области допустимых значений:

Для того чтобы корень был определен, выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(9 - (x+2)^2 \ge 0\).

\((x+2)^2 \le 9\)

\(-3 \le x+2 \le 3\)

\(-5 \le x \le 1\)

Значение \(x = -2\) попадает в эту область.

Ответ: 3