10. а) Решите уравнение \(8^x-5\cdot2^{x+1}+16\cdot2^{-x}=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\log_5 2;\log_5 10]\).

а) Положим \(t=2^x\), где \(t>0\). Тогда \(8^x=t^3\), и уравнение принимает вид \(t^3-10t+\frac{16}{t}=0\). Умножаем на \(t\):

\(t^4-10t^2+16=0\). Обозначим \(y=t^2\): \(y^2-10y+16=0=(y-2)(y-8)\). Значит, \(t=\sqrt2\) или \(t=2\sqrt2\), откуда \(x=\frac12\) или \(x=\frac32\).

б) Проверим попадание в отрезок. \(\log_5 2<\frac12\), поскольку \(2<\sqrt5\), а \(\frac32>\log_5 10\), поскольку \(5^{3/2}=5\sqrt5>10\). Поэтому из найденных корней отрезку принадлежит только \(\frac12\).

Ответ: а) \(\frac12;\ \frac32\); б) \(\frac12\).