11. Решите неравенство \(\log_5(3x+1)+\log_5\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)\ge\log_5\left(\frac{1}{24x}+1\right)\).

Область допустимых значений: \(3x+1>0\), \(x\ne0\), и \(1+\frac{1}{24x}>0\). Следовательно, \(x\in\left(-\frac13,-\frac1{24}\right)\cup(0,+\infty)\).

Объединяем логарифмы слева. Поскольку основание \(5>1\), сравниваем аргументы:

\((3x+1)\left(1+\frac{1}{72x^2}\right)\ge1+\frac{1}{24x}\).

На области допустимых значений знаменатель \(72x^2\) положителен. После приведения к общему знаменателю получаем \(216x^3+1\ge0\), то есть \((6x+1)(36x^2-6x+1)\ge0\). Квадратный множитель всегда положителен, поэтому \(x\ge-\frac16\).

Пересекаем это условие с областью допустимых значений.

Ответ: \(\left[-\frac16,-\frac1{24}\right)\cup(0,+\infty)\).