10. Последовательность {aₙ} задана рекуррентным соотношением a₁=0, a₂=1, aₙ₊₁=3aₙ−2aₙ₋₁, n≥2. Доказать, что aₙ=2^(n−1)−1, n∈N.

Докажем формулу по индукции.

1. При n=1: 2⁰−1=0=a₁; при n=2: 2−1=1=a₂.
2. Пусть aₙ=2^(n−1)−1 и aₙ₋₁=2^(n−2)−1. Тогда aₙ₊₁=3(2^(n−1)−1)−2(2^(n−2)−1)=2^n−1.

Это требуемая формула для следующего члена, следовательно, утверждение доказано.