11. Доказать, что при каждом натуральном n число n/3+n²/2+n³/6 будет целым.

Приведём дроби к общему знаменателю:

n/3+n²/2+n³/6=(2n+3n²+n³)/6=n(n²+3n+2)/6=n(n+1)(n+2)/6.

Произведение трёх последовательных целых чисел делится на 2 и на 3: одно из них чётное, а одно кратно 3. Поэтому оно делится на 6, и данное число целое.