5. Доказать, что 3+33+333+…+333…3 (n раз)=(10^(n+1)−9n−10)/27.

Число, состоящее из k троек, равно 3(10^k−1)/9=(10^k−1)/3. Поэтому сумма равна

[(10−1)+(10²−1)+…+(10^n−1)]/3.

Используем формулу геометрической суммы: 10+10²+…+10^n=10(10^n−1)/9. Тогда

S=[10(10^n−1)/9−n]/3=(10^(n+1)−10−9n)/27.

Это и есть требуемая формула.