7) Докажите: 1/(4·5)+1/(5·6)+1/(6·7)+…+1/((n+3)(n+4))=n/(4(n+4)).

Преобразуем слагаемое по формуле разности дробей: 1/[k(k+1)]=1/k−1/(k+1).

Тогда сумма равна (1/4−1/5)+(1/5−1/6)+…+(1/(n+3)−1/(n+4))=1/4−1/(n+4)=n/[4(n+4)]. Соседние слагаемые сокращаются.