9. Последовательность {aₙ} задана рекуррентным соотношением a₁=2, a₂=3, aₙ₊₁=3aₙ−2aₙ₋₁, n≥2. Доказать, что aₙ=2^(n−1)+1, n∈N.

Докажем формулу по индукции.

1. При n=1: 2^(1−1)+1=2=a₁; при n=2: 2^(2−1)+1=3=a₂.
2. Пусть формула верна для n и n−1. Тогда aₙ₊₁=3(2^(n−1)+1)−2(2^(n−2)+1)=2^n+1.

Это формула 2^((n+1)−1)+1, значит, утверждение верно для всех натуральных n.