6) Докажите: 1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4.

Докажем по индукции.

1. При n=1 обе части равны 6.
2. Предположим, что сумма первых n слагаемых равна n(n+1)(n+2)(n+3)/4. Добавим следующее слагаемое: n(n+1)(n+2)(n+3)/4+(n+1)(n+2)(n+3)=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/4.

Получено выражение формулы для n+1, поэтому равенство верно для всех натуральных n.