3. Доказать, что сумма кубов любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.

Пусть три последовательных натуральных числа — n, n+1 и n+2. Тогда сумма их кубов:

n³+(n+1)³+(n+2)³=3(n+1)(n²+2n+3).

Число n²+2n+3=(n+1)²+2 сравнимо по модулю 3 с 0, если n+1 не делится на 3; если n+1 делится на 3, то первый множитель n+1 делится на 3. Значит, произведение (n+1)(n²+2n+3) делится на 3, и вся сумма делится на 9.

Ответ: сумма делится на 9.