10. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площадь боковой и полной поверхности тела, образованного при этом вращении.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус.

Меньший катет — это высота конуса \( h = 6 \text{ см} \).

Больший катет — это радиус основания конуса \( r = 8 \text{ см} \).

Гипотенуза треугольника — это образующая конуса \( l \). Найдем её по теореме Пифагора:

\( l^2 = r^2 + h^2 \).

\( l^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \).

\( l = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \).

1. Площадь боковой поверхности конуса:

\( S_{бок} = \pi rl = \pi \cdot 8 \cdot 10 = 80\pi \text{ см}^2 \).

2. Площадь полной поверхности конуса:

\( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi rl + \pi r^2 \).

\( S_{осн} = \pi \cdot 8^2 = 64\pi \text{ см}^2 \).

\( S_{полн} = 80\pi + 64\pi = 144\pi \text{ см}^2 \).

Ответ: Площадь боковой поверхности равна \( 80\pi \text{ см}^2 \), площадь полной поверхности равна \( 144\pi \text{ см}^2 \).