15. Высота конуса равна 5 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите объем конуса.

Решение:

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Угол при вершине этого треугольника равен 120°.

Высота конуса \( h = 5 \text{ см} \).

Высота конуса делит угол при вершине осевого сечения пополам, то есть образует два угла по \( 120°/2 = 60° \) с радиусом основания \( r \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), радиусом основания \( r \) и образующей \( l \).

В этом треугольнике угол между высотой \( h \) и образующей \( l \) равен 60° (половина угла при вершине осевого сечения).

Мы можем использовать тангенс угла:

\( \tan(60°) = \frac{r}{h} \).

\( \sqrt{3} = \frac{r}{5} \).

\( r = 5\sqrt{3} \text{ см} \).

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

Подставляем значения:

\( V = \frac{1}{3}\pi \cdot (5\sqrt{3})^2 \cdot 5 \).

\( V = \frac{1}{3}\pi \cdot (25 \cdot 3) \cdot 5 \).

\( V = \frac{1}{3}\pi \cdot 75 \cdot 5 \).

\( V = \pi \cdot 25 \cdot 5 = 125\pi \text{ см}^3 \).

Ответ: \( 125\pi \text{ см}^3 \).