2. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм². Найдите радиус цилиндра.

Решение:

Плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает его по прямоугольнику. Одна сторона этого прямоугольника — высота цилиндра \( h = 10 \text{ дм} \), другая — хорда основания \( a \).

Площадь сечения \( S_{сеч} = a \cdot h \).

По условию \( S_{сеч} = 240 \text{ дм}^2 \), значит:

\( a \cdot 10 = 240 \ \implies \ a = \frac{240}{10} = 24 \text{ дм} \).

Расстояние от оси цилиндра до хорды основания \( d = 9 \text{ дм} \).

Радиус основания цилиндра \( r \) связан с длиной хорды \( a \) и расстоянием от оси \( d \) соотношением:

\( r^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2 \).

Подставим известные значения:

\( r^2 = 9^2 + (\frac{24}{2})^2 = 81 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \).

\( r = \sqrt{225} = 15 \text{ дм} \).

Ответ: 15 дм.