11. Найдите объем куба ABCDA1B1C1D1, если DE = 1 см, где Е – середина ребра АВ.

Решение:

Обозначим ребро куба как \( a \). Тогда \( AB = BC = CD = DA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = a \).

Точка E — середина ребра AB, значит \( AE = EB = \frac{a}{2} \).

Рассмотрим грань ABCD. Треугольник ADE — прямоугольный, так как угол D равен 90° (по свойству куба).

По условию, \( DE = 1 \text{ см} \).

Применим теорему Пифагора к треугольнику ADE:

\( AD^2 + AE^2 = DE^2 \).

\( a^2 + (\frac{a}{2})^2 = 1^2 \).

\( a^2 + \frac{a^2}{4} = 1 \).

\( \frac{4a^2 + a^2}{4} = 1 \).

\( \frac{5a^2}{4} = 1 \).

\( 5a^2 = 4 \).

\( a^2 = \frac{4}{5} \).

\( a = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \text{ см} \).

Объем куба \( V = a^3 \).

\( V = (\frac{2\sqrt{5}}{5})^3 = \frac{2^3 \cdot (\sqrt{5})^3}{5^3} = \frac{8 \cdot 5\sqrt{5}}{125} = \frac{40\sqrt{5}}{125} = \frac{8\sqrt{5}}{25} \text{ см}^3 \).

Ответ: \( \frac{8\sqrt{5}}{25} \text{ см}^3 \).