14. Высота конуса равна 5см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем исходного конуса, если объем меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см³.

Решение:

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от большого конуса меньший подобный конус.

Высота исходного конуса \( H = 5 \text{ см} \).

Расстояние от вершины до плоскости сечения — это высота меньшего конуса \( h = 2 \text{ см} \).

Объем меньшего конуса \( V_{мал} = 24 \text{ см}^3 \).

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия \( k \) равен отношению их высот:

\( k = \frac{h}{H} = \frac{2}{5} \).

Отношение объемов:

\( \frac{V_{мал}}{V_{исх}} = k^3 \).

\( \frac{24}{V_{исх}} = (\frac{2}{5})^3 = \frac{8}{125} \).

Теперь найдём объем исходного конуса \( V_{исх} \):

\( V_{исх} = \frac{24 \cdot 125}{8} \).

\( V_{исх} = 3 \cdot 125 = 375 \text{ см}^3 \).

Ответ: 375 см³.