6. Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

В осевом сечении конуса образующая \( l \) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания \( r \) и высота конуса \( h \).

Угол между образующей \( l \) и осью конуса \( h \) равен 45°.

В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то этот треугольник равнобедренный, и второй острый угол также равен 45°. Следовательно, катеты равны: \( r = h \).

По условию, образующая \( l = 6.5 \text{ см} \).

Используя теорему Пифагора: \( l^2 = r^2 + h^2 \).

Так как \( r = h \), то \( l^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 \).

\( (6.5)^2 = 2r^2 \).

\( 42.25 = 2r^2 \).

\( r^2 = \frac{42.25}{2} = 21.125 \).

\( r = \sqrt{21.125} \text{ см} \).

Площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок} = \pi rl \).

\( S_{бок} = \pi \cdot \sqrt{21.125} \cdot 6.5 \text{ см}^2 \).

Ответ: \( 6.5\pi\sqrt{21.125} \text{ см}^2 \).