№10. Решите уравнение \(2x^4+5x^3+6x^2+5x+2=0\).

Так как \(x=0\) не является корнем, разделим уравнение на \(x^2\) и обозначим \(t=x+\frac1x\):
\(2\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+5\left(x+\frac1x\right)+6=0\).

Поскольку \(x^2+\frac1{x^2}=t^2-2\), получаем:
\(2t^2+5t+2=0\);
\((2t+1)(t+2)=0\).

Значение \(t=-\frac12\) невозможно для действительного \(x\), так как \(x+\frac1x\le-2\) или \(x+\frac1x\ge2\). При \(t=-2\):
\(x+\frac1x=-2\);
\(x^2+2x+1=0\);
\((x+1)^2=0\).

Ответ: \(x=-1\).