10. Середины сторон параллелограмма образуют прямоугольник. Докажите, что этот параллелограмм — ромб.

Пусть M, N, P, Q — середины последовательных сторон параллелограмма ABCD.

1. По теореме о средней линии MN ∥ AC, а NP ∥ BD.
2. Так как MNPQ — прямоугольник, его соседние стороны перпендикулярны. Следовательно, AC ⟂ BD.
3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он является ромбом: диагонали делятся точкой пересечения пополам, а каждый из образовавшихся прямоугольных треугольников имеет одинаковые катеты, поэтому соседние стороны параллелограмма равны.

Ответ: исходный параллелограмм — ромб.